حل تمرین صفحه 31 ریاضی یازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۳۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین به شما کمک می‌کند تا تفاوت‌های اصلی بین توابع **ثابت**، **همانی** و **چندضابطه‌ای** را در کاربردهای واقعی درک کنید. مهم‌ترین نکته، توجه به رابطهٔ بین متغیرهای $\text{x}$ و $\text{y}$ است. ### الف. هر دانش‌آموز یک نهال می‌کارد (تابع همانی) * **متغیر $\text{x}$ (محور افقی):** تعداد دانش‌آموزان (ورودی) * **متغیر $\text{y}$ (محور عمودی):** تعداد نهال (خروجی) **رابطه:** اگر $\text{x}$ دانش‌آموز داشته باشیم، $\text{x}$ نهال کاشته می‌شود. یعنی $\mathbf{\text{y} = \text{x}}$ یا $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{x}}$. * **نوع تابع:** **تابع همانی (Identity Function)** **تکمیل نمودار:** * نمودار تابع همانی، نیم‌ساز ناحیهٔ اول و سوم است ($\\text{y}=\text{x}$). * چون تعداد دانش‌آموز و نهال نمی‌تواند منفی باشد و باید اعداد صحیح باشند، نمودار یک سری **نقاط** است که روی نیم‌ساز ناحیهٔ اول قرار می‌گیرند: $(\mathbf{1}, \mathbf{1})$, $(\mathbf{2}, \mathbf{2})$, $(\mathbf{3}, \mathbf{3}), \dots$. --- ### ب. هزینه یک لیتر بنزین عادی در هر زمان ۱۰۰۰ تومان است (تابع ثابت) * **متغیر $\text{x}$ (محور افقی):** زمان در یک شبانه‌روز (ورودی) * **متغیر $\text{y}$ (محور عمودی):** هزینه یک لیتر بنزین (خروجی) **رابطه:** مهم نیست چه زمانی از شبانه‌روز است ($\\text{x}$ چه مقداری بگیرد)، هزینه همیشه **ثابت** است. یعنی $\mathbf{\text{y} = 1000}$ یا $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = 1000}$. * **نوع تابع:** **تابع ثابت (Constant Function)** **تکمیل نمودار:** * $\text{x}$ زمان در یک شبانه‌روز است، یعنی $\mathbf{0 \le \text{x} \le 24}$. * هزینه ($\text{y}$) همیشه برابر با $\mathbf{1000}$ است. * نمودار یک **پاره‌خط افقی** است که در ارتفاع $\mathbf{y=1000}$ (یا در اینجا در محور $\text{y}$ در نقطهٔ $\mathbf{1000}$) رسم می‌شود و موازی محور $\text{x}$ است. این پاره‌خط از $\text{x}=0$ تا $\text{x}=24$ ادامه دارد. * **توجه:** در محور $\text{y}$ تصویر شما، مقادیر $1000, 2000, 3000, ots$ نشان داده شده است. نمودار در ارتفاع $\mathbf{1000}$ رسم می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۳۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی در این تمرین، ما به بررسی دقیق تعاریف توابع **همانی** و **ثابت** می‌پردازیم. باید با مثال نقض (Counterexample) یا اثبات ریاضی، درستی یا نادرستی هر گزاره را مشخص کنیم. ### الف. اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشند، آن تابع همانی است. * **گزاره:** **نادرست**. * **چرا؟** تابع همانی $\text{f}(\text{x}) = \text{x}$ است؛ یعنی هر عضو دامنه به خودش نگاشته می‌شود. اما تابعی وجود دارد که دامنه و بردش برابر است ولی همانی نیست. * **مثال نقض:** تابع $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{-x}}$ با دامنه $\mathbf{D}=\mathbb{R}$ (اعداد حقیقی). * **برد:** $\text{R} = \mathbb{R}$. پس $\text{D} = \text{R}$. * **اما:** این تابع همانی نیست، زیرا برای مثال $\text{f}(2) = -2 \ne 2$. ### ب. اگر دامنه یک تابع همانی مجموعه اعداد حقیقی باشد، آنگاه حاصل $\text{f}(\text{x}) + \text{f}(-\text{x})$ همواره برابر صفر است. * **گزاره:** **درست**. * **چرا؟** تابع همانی دارای ضابطه $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{x}}$ است. * بنابراین، $\mathbf{\text{f}(-\text{x}) = -\text{x}}$. * حاصل عبارت درخواستی می‌شود: $\text{f}(\text{x}) + \text{f}(-\text{x}) = \text{x} + (-\text{x}) = \mathbf{0}$. * این رابطه در مورد تابع همانی، در هر دامنهٔ متقارنی که شامل $\text{x}$ و $\text{-x}$ باشد، برقرار است. ### ج. اگر $\text{f}$ یک تابع ثابت باشد، آنگاه $\text{f}(\text{k}\text{x}) = \text{k}\text{f}(\text{x})$ است. * **گزاره:** **نادرست**. * **چرا؟** تابع ثابت دارای ضابطه $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{c}}$ است که $\text{c}$ یک عدد ثابت است. * **طرف چپ:** $\mathbf{\text{f}(\text{k}\text{x})}$. چون ورودی مهم نیست، خروجی همواره $\text{c}$ است. پس $\mathbf{\text{f}(\text{k}\text{x}) = \text{c}}$. * **طرف راست:** $\mathbf{\text{k}\text{f}(\text{x})}$. چون $\text{f}(\text{x}) = \text{c}$، پس $\mathbf{\text{k}\text{f}(\text{x}) = \text{kc}}$. * **نتیجه:** $\text{c} = \text{kc}$. این تساوی فقط زمانی برقرار است که $\text{c}=0$ یا $\text{k}=1$. در حالت کلی تابع ثابت (که $\text{c}$ می‌تواند هر عددی باشد)، این تساوی برقرار نیست. * **مثال نقض:** $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = 5}$. اگر $\text{k}=2$ و $\text{x}=3$ باشد: * $\text{f}(2 \times 3) = \text{f}(6) = 5$. * $2 \times \text{f}(3) = 2 \times 5 = 10$. * $5 \ne 10$. **پاسخ نهایی:** فقط گزاره **ب** درست است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۳۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی تابع زمانی **ثابت** است که **تمام مؤلفه‌های دوم** (خروجی‌ها یا مقادیر برد) آن **برابر** باشند. بنابراین، باید مؤلفه‌های دوم زوج مرتب‌های تابع $\text{A}$ را با هم مساوی قرار دهیم: 1. **برابری مؤلفه‌های دوم:** $$\text{b} = 4 = \text{a} + \text{b}$$ 2. **محاسبه $\text{b}$:** از تساوی اول داریم: $\mathbf{\text{b} = 4}$ 3. **محاسبه $\text{a}$:** حالا $\text{b}=4$ را در تساوی دوم جایگذاری می‌کنیم: $$4 = \text{a} + \text{b} \quad \Rightarrow \quad 4 = \text{a} + 4 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{a} = 0}$$ **پاسخ نهایی:** مقدار $\text{a}$ برابر با $\mathbf{0}$ است. (مقدار $\text{b}$ برابر با $\mathbf{4}$ است و تابع ثابت $\text{f}(\text{x})=4$ است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۳۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین ارتباط بین مفهوم **تابع ثابت** در ریاضی و **شاخص‌های مرکزی و پراکندگی** در آمار را نشان می‌دهد. ### ۱. مشخصات تابع ثابت * چون $\text{A}$ یک **تابع ثابت** است، تمام مؤلفه‌های دوم آن (مقادیر برد) باید **برابر** باشند. فرض می‌کنیم این مقدار ثابت $\mathbf{\text{c}}$ باشد: $$\text{y}_1 = \text{y}_2 = \text{y}_3 = \text{y}_4 = \text{c}$$ ### ۲. محاسبه میانگین ($\\overline{\text{y}}$) **میانگین**، مجموع مقادیر تقسیم بر تعداد آن‌ها است: $$\overline{\text{y}} = \frac{\text{y}_1 + \text{y}_2 + \text{y}_3 + \text{y}_4}{4} = \frac{\text{c} + \text{c} + \text{c} + \text{c}}{4} = \frac{4\text{c}}{4} = \mathbf{\text{c}}$$ ### ۳. محاسبه میانه **میانه**، مقدار وسط داده‌ها پس از مرتب‌سازی آن‌ها است. از آنجا که تمام مقادیر برابر هستند، مرتب‌سازی تفاوتی ایجاد نمی‌کند: $$\text{c}, \text{c}, \text{c}, \text{c}$$ تعداد داده‌ها زوج است ($\\text{n}=4$)، پس میانه **میانگین دو دادهٔ وسط** ($\\text{y}_2$ و $\\text{y}_3$) است: $$\text{میانه} = \frac{\text{y}_2 + \text{y}_3}{2} = \frac{\text{c} + \text{c}}{2} = \frac{2\text{c}}{2} = \mathbf{\text{c}}$$ ### ۴. محاسبه واریانس ($\\sigma^2$) **واریانس**، میانگین مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین است. این شاخص میزان پراکندگی داده‌ها را نشان می‌دهد: $$\sigma^2 = \frac{(\text{y}_1 - \overline{\text{y}})^2 + (\text{y}_2 - \overline{\text{y}})^2 + (\text{y}_3 - \overline{\text{y}})^2 + (\text{y}_4 - \overline{\text{y}})^2}{4}$$ چون $\text{y}_\text{i} = \text{c}$ و $\overline{\text{y}} = \text{c}$، اختلاف هر داده با میانگین **صفر** است: $$\sigma^2 = \frac{(\text{c} - \text{c})^2 + (\text{c} - \text{c})^2 + (\text{c} - \text{c})^2 + (\text{c} - \text{c})^2}{4} = \frac{0 + 0 + 0 + 0}{4} = \mathbf{0}$$ **نتیجهٔ آمار و تابع:** * **میانگین:** $\mathbf{\text{c}}$ * **میانه:** $\mathbf{\text{c}}$ * **واریانس:** $\mathbf{0}$ **نکته کلیدی:** از آنجا که تمام داده‌ها برابر هستند، هیچ پراکندگی وجود ندارد، بنابراین واریانس **صفر** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۳۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی برای اینکه یک نمایش پیکانی یک **تابع ثابت** را معرفی کند، باید دو شرط زیر برقرار باشد: 1. **تابع بودن:** از هر عضو دامنه (مجموعهٔ اول) **دقیقاً یک پیکان** خارج شده باشد. 2. **ثابت بودن:** **تمام پیکان‌ها** باید به **یک عضو مشخص** در هم‌دامنه (مجموعهٔ دوم) ختم شده باشند. ### بررسی نمایش پیکانی سمت چپ * **تابع بودن:** از هر عضو $\left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ فقط یک پیکان خارج شده است. (شرط تابع بودن برقرار است.) * **ثابت بودن:** تمام پیکان‌ها به **یک عضو خاص**، یعنی $\mathbf{-3}$، در مجموعهٔ دوم ختم شده‌اند. **نتیجه:** نمایش پیکانی سمت چپ، یک **تابع ثابت** است. (تابع $\text{f}(\text{x}) = -3$) ### بررسی نمایش پیکانی سمت راست * **تابع بودن:** از هر عضو $\left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$ فقط یک پیکان خارج شده است. (شرط تابع بودن برقرار است.) * **ثابت بودن:** پیکان‌ها به مقادیر مختلف $\mathbf{-1}, \mathbf{-2}, \mathbf{-3}, \mathbf{-4}$ ختم شده‌اند. **نتیجه:** نمایش پیکانی سمت راست، یک **تابع** است اما **ثابت نیست** (بلکه تابع همانی است: $\text{f}(\text{x}) = -\text{x}$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۳۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین به بررسی ویژگی‌های جبری **توابع ثابت** می‌پردازد. ### الف. مقادیر $\text{f}(\text{a})$، $\text{f}(\text{b})$ و $\text{f}(\text{a}+\text{b})$ در تابع ثابت $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{c}}$، مقدار خروجی ($\text{y}$) همیشه برابر با $\text{c}$ است، صرف نظر از مقدار ورودی ($\text{x}$): * $\mathbf{\text{f}(\text{a}) = \text{c}}$ * $\mathbf{\text{f}(\text{b}) = \text{c}}$ * $\mathbf{\text{f}(\text{a}+\text{b}) = \text{c}}$ ### ب. یافتن مقادیر $\text{c}$ از یک رابطه رابطه داده شده: $\mathbf{\text{f}(\text{a}+\text{b}) = \text{f}(\text{a}) \times \text{f}(\text{b})}$ مقادیر به دست آمده از قسمت الف را در این رابطه جایگذاری می‌کنیم: 1. **جایگذاری:** $$\text{c} = \text{c} \times \text{c} \quad \Rightarrow \quad \text{c} = \text{c}^2$$ 2. **حل معادله:** برای حل معادله $\text{c}^2 = \text{c}$، تمام جملات را به یک طرف می‌بریم: $$\text{c}^2 - \text{c} = 0$$ از $\text{c}$ فاکتور می‌گیریم: $$\text{c}(\text{c} - 1) = 0$$ 3. **پیدا کردن ریشه‌ها:** معادله دو پاسخ دارد: * $\mathbf{\text{c} = 0} \quad \Rightarrow \quad \text{f}(\text{x}) = 0$ (تابع ثابت صفر) * $\mathbf{\text{c} - 1 = 0} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{c} = 1} \quad \Rightarrow \quad \text{f}(\text{x}) = 1$ (تابع ثابت یک) **پاسخ نهایی:** $\text{c}$ مقادیر **$\mathbf{0}$** و **$\mathbf{1}$** را اختیار می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۳۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی تابع زمانی **همانی (Identity)** است که **مؤلفهٔ اول هر زوج مرتب برابر مؤلفهٔ دوم** آن باشد. یعنی $\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{x}}$ و برای هر زوج مرتب $(\text{x}, \text{y})$ داشته باشیم $\mathbf{\text{x} = \text{y}}$. ### ۱. تعیین مقادیر $\text{a}$، $\text{b}$ و $\text{c}$ از شرط تابع همانی استفاده می‌کنیم: * برای زوج مرتب $(\text{a}, 1)$: $\mathbf{\text{a} = 1}$ * برای زوج مرتب $(\text{b}, 2)$: $\mathbf{\text{b} = 2}$ * برای زوج مرتب $(\text{c}, 5)$: $\mathbf{\text{c} = 5}$ ### ۲. محاسبه میانگین $\text{a}$ و $\text{b}$ و $\text{c}$ **میانگین**، مجموع مقادیر تقسیم بر تعداد آن‌ها است: $$\overline{\text{x}} = \frac{\text{a} + \text{b} + \text{c}}{3} = \frac{1 + 2 + 5}{3} = \frac{8}{3}$$ **پاسخ نهایی:** میانگین $\text{a}$ و $\text{b}$ و $\text{c}$ برابر با $\mathbf{\frac{8}{3}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۳۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی یک زوج مرتب $(\text{x}, \text{y})$ زمانی روی **نیمساز ناحیهٔ اول و سوم** (خط $\mathbf{\text{y} = \text{x}}$) قرار دارد که **مؤلفهٔ اول و دوم آن با هم برابر باشند**، یعنی $\mathbf{\text{y} = \text{x}}$. همچنین باید $\mathbf{\text{n} \in \mathbb{N}}$ ($\mathbf{\text{n}}$ عدد طبیعی) باشد. ### الف. بررسی زوج مرتب $(\text{2}, \text{n}^2 - 3\text{n} + 4)$ باید مؤلفه دوم را برابر با مؤلفه اول ($\mathbf{2}$) قرار دهیم: $$\text{n}^2 - 3\text{n} + 4 = 2$$ $$\text{n}^2 - 3\text{n} + 2 = 0$$ این یک معادله درجه دوم است. از روش تجزیه استفاده می‌کنیم: $$(\text{n} - 1)(\text{n} - 2) = 0$$ معادله دو جواب دارد: * $\mathbf{\text{n} = 1}$ * $\mathbf{\text{n} = 2}$ چون هر دو عدد $\mathbf{1}$ و $\mathbf{2}$ **طبیعی** هستند ($\mathbf{\text{n} \in \mathbb{N}}$)، هر دو پاسخ قابل قبول‌اند. --- ### ب. بررسی زوج مرتب $(-1, \text{n}^2 - 4\text{n} + 2)$ باید مؤلفه دوم را برابر با مؤلفه اول ($\mathbf{-1}$) قرار دهیم: $$\text{n}^2 - 4\text{n} + 2 = -1$$ $$\text{n}^2 - 4\text{n} + 3 = 0$$ این یک معادله درجه دوم است. از روش تجزیه استفاده می‌کنیم: $$(\text{n} - 1)(\text{n} - 3) = 0$$ معادله دو جواب دارد: * $\mathbf{\text{n} = 1}$ * $\mathbf{\text{n} = 3}$ چون هر دو عدد $\mathbf{1}$ و $\mathbf{3}$ **طبیعی** هستند ($\mathbf{\text{n} \in \mathbb{N}}$)، هر دو پاسخ قابل قبول‌اند. **پاسخ نهایی:** * برای زوج مرتب اول: $\mathbf{\text{n} = 1 \text{ یا } \text{n} = 2}$ * برای زوج مرتب دوم: $\mathbf{\text{n} = 1 \text{ یا } \text{n} = 3}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۳۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین دو شرط مهم دارد: $\text{f}$ یک **تابع ثابت** است و **دامنهٔ آن دو عضوی** است. همچنین $\mathbf{\text{n}, \text{m} \in \mathbb{N}}$ (اعداد طبیعی) هستند. ### ۱. استفاده از شرط تابع ثابت چون $\text{f}$ تابع ثابت است، تمام مؤلفه‌های دوم باید برابر باشند: $$\text{n}^2 - 2\text{n} = 3 = \text{t}$$ از این شرط، مقدار $\text{t}$ به دست می‌آید: $$\mathbf{\text{t} = 3}$$ و برای $\text{n}$ داریم: $$\text{n}^2 - 2\text{n} = 3 \quad \Rightarrow \quad \text{n}^2 - 2\text{n} - 3 = 0$$ $$(\text{n} - 3)(\text{n} + 1) = 0$$ $$\text{n} = 3 \quad \text{یا} \quad \text{n} = -1$$ چون $\mathbf{\text{n} \in \mathbb{N}}$ (طبیعی است)، $\text{n}=-1$ قابل قبول نیست. پس: $$\mathbf{\text{n} = 3}$$ ### ۲. استفاده از شرط دو عضوی بودن دامنه دامنه $\text{f}$ شامل مؤلفه‌های اول است: $$\text{D}_{\text{f}} = \left\{ -1, \text{m} - 4, \text{m} + \text{n} \right\}$$ چون دامنه $\mathbf{2}$ عضوی است، پس حداقل دو مؤلفه اول باید **تکراری** باشند. $$\text{D}_{\text{f}} = \left\{ -1, \text{m} - 4, \text{m} + 3 \right\} \quad (\text{چون } \text{n}=3)$$ حالت‌های ممکن برای تکراری بودن: * **حالت اول: $-1 = \text{m} - 4$** $$\text{m} = 4 - 1 = 3$$ اگر $\text{m}=3$ باشد، دامنه می‌شود: $\left\{ -1, 3 - 4, 3 + 3 \right\} = \left\{ -1, -1, 6 \right\} = \left\{ -1, 6 \right\}$. (دامنه دو عضوی است.) چون $\mathbf{\text{m} = 3 \in \mathbb{N}}$، این حالت **قابل قبول** است. * **حالت دوم: $-1 = \text{m} + 3$** $$\text{m} = -1 - 3 = -4$$ چون $\mathbf{\text{m} = -4 \notin \mathbb{N}}$، این حالت **قابل قبول نیست**. * **حالت سوم: $\text{m} - 4 = \text{m} + 3$** $$-4 = 3 \quad (\text{نادرست})$$ این حالت **غیرممکن** است. تنها حالت ممکن $\mathbf{\text{m} = 3}$ است. ### ۳. محاسبه $\text{m} + \text{t}$ $$\text{m} + \text{t} = 3 + 3 = \mathbf{6}$$ **پاسخ نهایی:** مقدار $\text{m} + \text{t}$ برابر با $\mathbf{6}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۳۱ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین مربوط به تعریف ضابطه برای یک **تابع چندضابطه‌ای** بر اساس نمودار آن است. باید نمودار را به قطعات خطی تقسیم کرده و شیب و عرض از مبدأ هر قطعه را محاسبه کنیم. ### ۱. ضابطهٔ بخش اول ($\\text{x} < -2$) * **نقاط:** به نظر می‌رسد این بخش ادامهٔ خط بین $-2$ و $0$ است. (اگر فرض کنیم که خط در $-2$ تغییر شیب نداده است، که فرض معمول در توابع چندضابطه‌ای است.) * **نقاط مرجع:** $(-2, 2)$ و $(0, 0)$. * **شیب:** $\text{a} = \frac{0 - 2}{0 - (-2)} = \frac{-2}{2} = -1$. * **ضابطه:** از آنجایی که $\text{a}=-1$ و از $(0, 0)$ می‌گذرد، ضابطه $\text{y} = -\text{x}$ است. * **بازه:** $\text{x} < -2$ $$\mathbf{\text{f}(\text{x}) = -\text{x}} \quad \text{اگر } \mathbf{\text{x} < -2}$$ ### ۲. ضابطهٔ بخش دوم ($\\text{-2} \le \text{x} \le 0$) * **نقاط:** $(-2, 2)$ و $(0, 0)$. * **شیب:** $\text{a} = -1$ (همانند بخش قبل). * **ضابطه:** $\text{y} = -\text{x}$. * **بازه:** $-2 \le \text{x} \le 0$ $$\mathbf{\text{f}(\text{x}) = -\text{x}} \quad \text{اگر } \mathbf{-2 \le \text{x} \le 0}$$ ### ۳. ضابطهٔ بخش سوم ($\\text{0} < \text{x} < 2$) * **نقاط:** $(0, 0)$ و $(2, 2)$. * **شیب:** $\text{a} = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$. * **ضابطه:** $\text{y} = \text{x}$. * **بازه:** $0 < \text{x} < 2$ $$\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \text{x}} \quad \text{اگر } \mathbf{0 < \text{x} < 2}$$ ### ۴. ضابطهٔ بخش چهارم ($\\text{x} \ge 2$) * **نقاط:** $(2, 2)$ و خط افقی در $y=2$. * **شیب:** صفر (خط افقی). * **ضابطه:** $\text{y} = 2$ (تابع ثابت). * **بازه:** $\text{x} \ge 2$ $$\mathbf{\text{f}(\text{x}) = 2} \quad \text{اگر } \mathbf{\text{x} \ge 2}$$ ### ۵. خلاصهٔ تابع چندضابطه‌ای (با ساده‌سازی) با توجه به اینکه ضابطه‌های بخش ۱ و ۲ یکسان هستند، می‌توانیم آن‌ها را ادغام کنیم. همچنین برای سادگی و بر اساس شکل نمودار، می‌توان بخش‌های میانی را به صورت تابع **قدر مطلق** (با ضابطه $\mathbf{\text{y} = |\text{x}|}$) نوشت: * **بازه اول (V شکل):** $\text{f}(\text{x}) = |\text{x}|$ برای $-2 \le \text{x} \le 2$. (زیرا $\text{f}(-2)=2$, $\text{f}(0)=0$, $\text{f}(2)=2$). * **بازه دوم (ثابت):** $\text{f}(\text{x}) = 2$ برای $\text{x} < -2$ و $\text{x} > 2$. (این تعریف ضابطه تابع در تصویر را آسان‌تر می‌کند.) **ضابطه نهایی:** $$\text{f}(\text{x}) = \begin{cases} \mathbf{2} & \mathbf{\text{x} < -2} \\ \mathbf{|\text{x}|} & \mathbf{-2 \le \text{x} < 2} \\ \mathbf{2} & \mathbf{\text{x} \ge 2} \end{cases}$$ **تبصرهٔ نهایی (فرم فشرده‌تر):** $$\text{f}(\text{x}) = \begin{cases} \mathbf{2} & \mathbf{|\text{x}| \ge 2} \\ \mathbf{|\text{x}|} & \mathbf{|\text{x}| < 2} \end{cases}$$